Очередной раз листая книгу А.В. Сиденко «Как играть в „Спортлото“: Методика и обоснование числовой лотереи „Спортлото“ — 5 из 36», любезно присланную мне автором, Анатолием Викторовичем, по почте в начале 2009 г., за что ему огромное спасибо, я обратил внимание на описание использования магических квадратов в качестве полей для зачеркивания номеров. Речь шла о магических квадратах на поле 6×6.
Классическим (магическим) квадратом порядка n называется квадратная таблица размера n x n, заполненная последовательными натуральными числами от 1 до n2 так, что их сумма по строкам, столбцам и диагоналям таблицы одинакова. Известна формула, по которой вычисляется эта сумма:
 . | (1) |
Нетрудно посчитать, что для квадрата порядка n = 6 она составит S = 111. Число S еще называют магической постоянной. Также легко находится сумма всех чисел квадрата, а следовательно и всех номеров лотерии — 666. Конечно, магические квадраты здесь ни при чем: как бы мы не располагали номера этой лотереи на игровом поле, сумма будет определяться формулой суммы n2 первых членов арифметической прогрессии:
 . | (2) |
Магические квадраты известны с древних времен. Однако, аналитические методы построения магических квадратов четного порядка в настоящее время неизвестны. Существуют аналитические и алгоритмические описания нелинейных методов. Математики считают, что на поле 6×6 существует несколько миллионов магических квадратов. Количество сочетаний по n из n2 при n = 6, дающих сумму S = 111, равно 32134.
В книге А.В. Сиденко приводятся лишь несколько найденных и опубликованных магических квадратов. Мы же попытаемся использовать их в качестве основы для нашей системы: если любой столбец магического квадрата повернуть так, чтобы он стал строкой и исключить из него какой-нибудь один номер, то получим систему из m = n+1 вариантов с суммами номеров в каждом из вариантов, находящимися в пределах:
 , | (3) |
 , | (4) |
 . |
Неравенство (4) получено исходя из предположения, что в повернутом столбце присутствовали номера 36 и 1. Если построить неравенство сумм номеров Σ в игровых вариантах с доверительной вероятностью β на основе имеющихся статистических данных: математического ожидания M(X) = 92.896 и среднеквадратического отклонения σ(X) = 23.325 после 125 тиража лотереи «Спортлото 5 из 36» (BY), то можно увидеть, что комбинации рассматриваемой системы хорошо вписываются в статистическую модель:
 , | (5) |
 , | (6) |
где
 , | (7) |
при ε = σ(X), Φ(1) = 0.8413, а β = 0.6826 и тогда:
 , | (8) |
 . | (9) |
Использование формул (5)—(7) основано на утверждении, что при большом количестве испытаний (наблюдений) порядка нескольких десятков согласно центральной предельной теореме результат Σ можно считать распределенным по нормальному закону.
Таким образом получена система на 5 номеров, 35 чисел — 7 вариантов: «5/35/7». В игре не участвует лишь одно число. Система может оказаться неэффективной, если в тираж выходит отброшенное число и(или) все 5 номеров выпали на разные строки квадрата (всякое бывает ;) в остальных случаях гарантированно ловятся
- 1 или 2 двойки,
- 1 двойку и 1 тройку,
- 1 тройку,
- 1 четверку,
- 1 джек-пот :)
Для примера приведем магичекский квадрат из книги Анатолия Викторовича Сиденко порядка n = 6 и полученные на его основе комбинации для игры:
| 1 | 35 | 4 | 33 | 32 | 6 |
| 12 | 8 | 27 | 28 | 11 | 25 |
| 24 | 17 | 15 | 16 | 20 | 19 |
| 13 | 23 | 21 | 22 | 14 | 18 |
| 30 | 26 | 10 | 9 | 29 | 7 |
| 31 | 2 | 34 | 3 | 5 | 36 |
| 1 | 35 | 4 | 33 | 32 |
| 12 | 8 | 27 | 28 | 11 |
| 24 | 17 | 15 | 16 | 20 |
| 13 | 23 | 21 | 22 | 14 |
| 30 | 26 | 10 | 9 | 29 |
| 31 | 2 | 34 | 3 | 5 |
| 6 | 25 | 19 | 18 | 7 |
Что нам дало использование магических квадратов? Из-за их свойств, во-первых, практически полностью задействовано игровое поле, во-вторых, комбинации хорошо вписываются в статистическую модель лотереи.
Аналогично можно получить систему на 6 номеров, в ней будет 48 чисел и 8 вариантов: «6/48/8».
Системы просты и компактны, правда определенную трудность может вызвать вычисление или поиск магических квадратов требуемой размерности — ну, на то они и магические. :) К слову, данную трудность после запуска на этом сайте сервиса «Магические квадраты», можно считать преодоленной: теперь каждый желающий имеет возможность воспользоваться либо магическим, либо полумагическим квадратом из базы магических квадратов, полученных и хранящихся на сайте проекта.
Также следует отметить, что лучше всего системы на магических квадратах подойдут для лотерей, проводимых по формулам «n-1 из n2», т.е. «5 и 36», «6 из 49», «7 из 64» и т. д. Возможно кто-то уже пользуется подобными системами, но мне не удалось найти их «следов» на просторах Интернет.