Очередной раз листая книгу А.В. Сиденко «Как играть в „Спортлото“: Методика и обоснование числовой лотереи „Спортлото“ — 5 из 36», любезно присланную мне автором, Анатолием Викторовичем, по почте в начале 2009 г., за что ему огромное спасибо, я обратил внимание на описание использования магических квадратов в качестве полей для зачеркивания номеров. Речь шла о магических квадратах на поле 6×6.

Классическим (магическим) квадратом порядка n называется квадратная таблица размера n x n, заполненная последовательными натуральными числами от 1 до n² так, что их сумма по строкам, столбцам и диагоналям таблицы одинакова. Известна формула, по которой вычисляется эта сумма:

.

(1)

Нетрудно посчитать, что для квадрата порядка n = 6 она составит S = 111. Число S еще называют магической постоянной. Также легко находится сумма всех чисел квадрата, а следовательно и всех номеров лотерии — 666. Конечно, магические квадраты здесь ни при чем: как бы мы не располагали номера этой лотереи на игровом поле, сумма будет определяться формулой суммы n² первых членов арифметической прогрессии:

.

(2)

Магические квадраты известны с древних времен. Однако, аналитические методы построения магических квадратов четного порядка в настоящее время неизвестны. Существуют аналитические и алгоритмические описания нелинейных методов. Математики считают, что на поле 6×6 существует несколько миллионов магических квадратов. Количество сочетаний по n из n² при n = 6, дающих сумму S = 111, равно 32134.

В книге А.В. Сиденко приводятся лишь несколько найденных и опубликованных магических квадратов. Мы же попытаемся использовать их в качестве основы для нашей системы: если любой столбец магического квадрата повернуть так, чтобы он стал строкой и исключить из него какой-нибудь один номер, то получим систему из m = n+1 вариантов с суммами номеров в каждом из вариантов, находящимися в пределах:

,

(3)

,	(4)
.

Неравенство (4) получено исходя из предположения, что в повернутом столбце присутствовали номера 36 и 1. Если построить неравенство сумм номеров Σ в игровых вариантах с доверительной вероятностью β на основе имеющихся статистических данных: математического ожидания M(X) = 92.896 и среднеквадратического отклонения σ(X) = 23.325 после 125 тиража лотереи «Спортлото 5 из 36» (BY), то можно увидеть, что комбинации рассматриваемой системы хорошо вписываются в статистическую модель:

,	(5)
,	(6)

,

(7)

,	(8)
.	(9)

Использование формул (5)—(7) основано на утверждении, что при большом количестве испытаний (наблюдений) порядка нескольких десятков согласно центральной предельной теореме результат Σ можно считать распределенным по нормальному закону.

Таким образом получена система на 5 номеров, 35 чисел — 7 вариантов: «5/35/7». В игре не участвует лишь одно число. Система может оказаться неэффективной, если в тираж выходит отброшенное число и(или) все 5 номеров выпали на разные строки квадрата (всякое бывает ;) в остальных случаях гарантированно ловятся 2-ки, 3-ки и т.д. Можно словить:

• 1 или 2 двойки,
• 1 двойку и 1 тройку,
• 1 тройку,
• 1 четверку,
• 1 джек-пот :)

Для примера приведем магичекский квадрат из книги Анатолия Викторовича Сиденко порядка n = 6 и полученные на его основе комбинации для игры:

Что нам дало использование магических квадратов? Из-за их свойств, во-первых, практически полностью задействовано игровое поле, во-вторых, комбинации хорошо вписываются в статистическую модель лотереи.

Аналогично можно получить систему на 6 номеров, в ней будет 48 чисел и 8 вариантов: «6/48/8».

Системы просты и компактны, правда определенную трудность может вызвать вычисление или поиск магических квадратов требуемой размерности — ну, на то они и магические. :) К слову, данную трудность после запуска на этом сайте сервиса «Магические квадраты», можно считать преодоленной: теперь каждый желающий имеет возможность воспользоваться либо магическим, либо полумагическим квадратом из базы магических квадратов, полученных и хранящихся на сайте проекта.

Также следует отметить, что лучше всего системы на магических квадратах подойдут для лотерей, проводимых по формулам «n-1 из n²», т.е. «5 и 36», «6 из 49», «7 из 64» и т. д. Возможно кто-то уже пользуется подобными системами, но мне не удалось найти их «следов» на просторах Интернет.

y.v.p.